\chapter{Задача из множества во множество}
\section{Постановка задачи}
%FIXME: странности с названием лекции осталась, так как тут кусок стоит отнести к прошлой лекции. Оставим пока так
Хочется сказать, что множество $\omega$, на котором условие нормальности не выполняется, имеет меру нуль.
Рассмотрим иные множества ограничений:
\begin{stm}
	Если $\mathcal P$ строго выпукло, $\Int \mathcal P\neq \varnothing$, $\rg\left[B\middle|AB\middle|\ldots\left|\right.A^{n-1}B\right]=n$, то $u^l(\tau)$ выделяется из условия максимума единственным образом.
\end{stm}
\begin{proof}
	Максимум достигается в единственной точке в силу выпуклости. Надо лишь доказать, что $B^T\psi(t)\neq 0$ на любом интервале.

	Предположим противное:
	$B^T\psi(t)\equiv 0, \forall t$, тогда:
	$l^Te^{A(t_1-t)}B\equiv 0.$

	Продифференцируем обе части $(n-1)$ раз:
	\begin{gather*}
		-l^{T}e^{A(t_1-t)}AB\equiv 0,\\
		\vdots\\
		(-1)^{n-1}l^T e^{A(t_1-t)}A^{n-1}B\equiv 0.
	\end{gather*}
	Положим $t = t_1$, тогда ненулевой вектор ортогонален всем столбцам, получили противоречие с условием полной управляемости. %кривое предложение(а может быть и неправильное)%
\end{proof}
Перейдём к задачам оптимального управления при переходе из множества в множество. Расширим понятие множества достижимости:
\begin{gather*}
	\soa[\tau] = \soa\left(\tau,t_0, \soa^0\right) = \left\{x: \exists\, u(\cdot), \exists\, x^0\in\soa:x = x\left(\tau, t_0, x^0\left|\right.u(\cdot)\right)\right\}.
\end{gather*}
А также множества разрешимости:
\begin{multline*}
	\mathcal{W}[\tau] = \mathcal{W}(\tau, t_1, M) = \left\{x:\exists\, u(\cdot),\exists\, x^1\in M:x = x\left(\tau, t_1, x^1\left|\right.u(\cdot)\right)\right\} ={}\\{}= \left\{x:\exists\, u(\cdot), x\left(t_1, \tau, x\left|\right.u(\cdot)\right)\in M\right\}.
\end{multline*}
%здесь надо улучшить форматирование
\section{Вспомогательные утверждения}
\begin{problem}
	$\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t)$, $x(t_0) = x^0\in\soa^0$, $x(t_1) = x^1\in\soa^1$, где $\soa^0, \soa^1\in\conv\mathbb R^n$.
	$x^0$ переходит в $x^1$;$t_1-t_0\rightarrow\inf$, $t_0$ --- фиксировано, $t_1$ --- свободно (или наоборот), а $x^0, x^1$ --- свободны (их тоже надо указать). Требуется найти $t^{*}_{1}$:

	$t^{*}_{1} = \inf\left\{t\geqslant t_0: \soa\left(\tau, t_0, \soa^0\right)\cap\soa^1\neq\varnothing\right\}$
\end{problem}
Отметим, что $\soa\left(\tau, t_0, \soa^0\right)\cap\soa^1\neq\varnothing\Leftrightarrow d(\soa[\tau], \soa^1) = 0$.

$d(z_1, z_2) = \inf\left\{\norm{z_1-z_2},\ z_i\in Z_j,\ j = 1, 2\right\}$.

Введём $\varepsilon\left[\tau\right] = d\left(\soa[\tau], \soa^1\right)$.
\begin{theorem}
	$t^{*}_1 - t_0$ --- время оптимального быстродействия $\Leftrightarrow t_1^*$ --- наименьший корень  $t_1^*\geqslant t_0$ уравнения $\varepsilon(\tau) = 0, x(t_0) = x^0\in\soa^0$.
\end{theorem}
Докажем следующее утверждение:
\begin{stm}
	$\soa[\tau]\in\conv\mathbb R^n$.
\end{stm}
\begin{note}
	$\soa[\tau]$ --- выпуклый компакт, но наиболее существенным является именно то, что он компакт.
\end{note}
\begin{proof}
	\emph{Выпуклость} доказывается как обычно. \emph{Ограниченность} --- из аналогичной теоремы об интеграле. \emph{Замкнутость} --- чуть сложнее, надо выбрать подпоследовательность из начальных точек.
\end{proof}
Формула расстояний между компактами:
\begin{gather*}
	\sufu{l}{Z_1} < -\sufu{-l}{Z_2}\Leftrightarrow\max_{z_1\in Z_1}\scalar{l}{z_1} < \min_{z_2\in Z_2}\scalar{l}{z_2}\text{, значит:}\\
	Z_1\cap Z_2 = \varnothing, Z_1,Z_2\in\conv\mathbb R^n\Leftrightarrow \max_{\norm{l}=1}\left[-\sufu{l}{Z_1}-\sufu{-l}{Z_2}\right]>0.
\end{gather*}
Если множество $Z_2=\{z_2\}$, то:
\begin{gather*}
	\sufu{-l}{Z_2} = - \scalar{l}{z_2}. % \max_{\norm{l}=1}[\scalar{l}{z_2}-\rho(l\left|\right.Z_1)]?????
\end{gather*}
Воспользуемся индикаторными функциями из выпуклого анализа:
\begin{equation*}
	\delta_{Z_1\cap Z_2}(z) = \delta_{Z_1}(z)+\delta_{Z_2}(z)\text{, при этом знаем, что }\sufu{\cdot}{z_j}=(\delta_{z_j}(\cdot))^*.
\end{equation*}
\begin{stm}
	$d(z,Z) = \sup\limits_{\norm{l}=1}[\scalar{l}{z}-\sufu{l}{Z}]$.
\end{stm}
\begin{proof}
	Найдём сопряжённую к расстоянию:
	\begin{multline*}
		\sup_Z[\scalar{l}{z}-d(z, Z)] = \sup_Z[\scalar{l}{z}-\inf_{\zeta\in Z}\norm{z-\zeta}]=\sup_Z\sup_{\zeta\in Z}[\scalar{l}{z}-\norm{z-\zeta}]=\\=\{\text{пусть }z-\zeta = y\}=\sup_{\zeta\in Z}\sup_y[\scalar{l}{z+y}-\norm{y}]={}\\{}=\sufu{l}{Z}+\sup\limits_y[\scalar{l}{y}-\norm{y}] = \sufu{l}{Z}+\delta(l\left|\right.B_1(0)).
	\end{multline*}
	По теореме Фенхеля--Моро это действительно расстояние. % FIXME: навести справки на людей :)
\end{proof}
\begin{stm}
	$d(z_1,Z_2) = \min\limits_{z_1\in Z_1}d(z_1,Z_2) = \min\limits_{z_1\in Z_1}\sup\limits_{\norm{l}=1}[\scalar{l}{z_1}-\sufu{l}{Z_2}].$
\end{stm}
Для доказательства потребуется следующая теорема: %о минимаксе?
\begin{theorem}[Джон фон Нойманн] % FIXME: все мы знаем, что на самом деле правильно будет Янош фон Нойманн :)
	Пусть $f\colon X\times Y\rightarrow \mathbb R$, $X, Y$ --- выпуклые компакты, $f(x, \cdot)$ --- вогнута, $f(\cdot, y)$ полунепрерывна снизу, $f(x,\cdot)$ полунепрерывна сверху, тогда:
	\begin{equation*}
		\inf\limits_{x\in X}\sup\limits_{y\in Y} = \sup\limits_{y\in Y}\inf_{x\in X}f(x, y).
	\end{equation*}
\end{theorem}
Оставим эту теорему без доказательства.
\begin{equation*}
	\varepsilon[\tau] = \sup\limits_{\norm{l}\leqslant 1}\left[-\sufu{l}{\soa[\tau]}-\sufu{-l}{\soa^1}\right];\\
\end{equation*}
Найдем опорную функцию:
\begin{equation*}
	\scalar{l}{x(t)} = \scalar{l}{X(t_1, t_0)x^0}+\int\limits_{t_0}^t\scalar{l}{X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)}d\tau+\int\limits_{t_0}^{t_1}\scalar{l}{X(t,\tau)f(\tau)}d\tau;
\end{equation*}
Из предыдущего пункта имеем:
\begin{multline*}
	\sufu{l}{\soa[t]}=\sufu{X^T(t,t_0)l}{\soa^0}+\int\limits_{t_0}^t\scalar{X^t(t,\tau)l}{f(\tau)}d\tau+\int\limits_{t_0}^{t}\sufu{B^T X^T(t,\tau)l}{\mathcal{P}(\tau)}d\tau ={}\\{}=\sufu{\psi(t_0)}{\soa^0}+\int\limits_{t_0}^t\scalar{\psi(\tau)}{f(\tau)}d\tau+\int\limits_{t_0}^{t}\sufu{B^T\psi(\tau)}{\mathcal{P}(\tau)}d\tau;
\end{multline*}
\begin{equation*}
	\varepsilon\left[t\right] = \sup\limits_{\norm{\psi(t_1)}\leqslant 1}\left[\sufu{\psi(t_0)}{\soa^0}-\int\limits_{t_0}^t\sufu{B^T\psi}{\mathcal{P}}d\tau-\sufu{-\psi(t_1)}{\soa^1}\right]\text{, где }\psi(\tau) = X^T(t, \tau)l.
\end{equation*}
Допустим, что $t_1^*$ численно найдено. Тогда максимизатор $l^*$ --- одно из тех направлений, по которым происходит отделение множеств, поэтому $l$ --- нормаль.% рисунок про условие трансверсальности

